eXoMorphisme

Liban 2018 Exo2

Complexes

Exercice très court, un peu dans l'idée des problèmes ouverts. La question 2.a est un peu compliqué, et elle est nécessaire pour pouvoir faire les suivantes.
Bien comprendre que l'on ne doit pas passer une heure sur une question que l'on n'arrive pas à faire. On passe et on reviendra plus tard si l'on a du temps.

Question 1
Indication :
Aucune difficulté dans cette question. On peut remarquer que ces deux nombres sont conjugués l'un de l'autre.
On se rappelle de la méthode pour passer de la forme algébrique à la forme exponentielle.
Rappel

z=a+\text{i}b

forme algébrique, avec

a

b

dans

\mathbb{R}

z=|z|\left(\cos \theta + \text{i} \sin \theta \right)

où

|z|\in\mathbb{R}_+

est le module de

z

\theta\in\mathbb{R}

est son module. C'est la forme trigonométrique.

z=|z|\text{e}^{\text{i}\theta}

est la forme exponentielle.

Question 2.a
Indication :
La puissance

n

nous guide vers l'utilisation de la forme exponentielle.
Rappel

\left(|z|\text{e}^{\text{i}\theta}\right)^n=|z|^n\text{e}^{\text{i}n\theta}

Question 2.b Affirmation A
Indication :
A partir du résultat précédent on cherche à savoir si le nombre trouvé est dans

\mathbb{R}

, et donc calculer son argument.

Question 2.b Affirmation B
Indication :
A quelle condition un

\cos

vaut zéro.